三角形

Last-modified: 2020-06-04 (木) 15:08:05

三角形は同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの線分からなる多角形。その3点を三角形の頂点、3つの線分を三角形のという。

算数における三角形

算数では三角形の面積を求める問題が多い。面積は底辺×高さ×1/2(小学校では÷2)で求められるが、三角形の高さは垂線と異なるので注意が必要である。なお、算数では学習しないが面積を求める方法は他にも実際何通りかある(例:ヘロンの公式?)。

中学数学における三角形

三角形の合同条件

一方の図形を移動させて他方に重ね合わせることができる場合、この2つの図形は合同であるという。 三角形の合同を判断する場合、重ねあわせなくても下記の3つの合同条件のうちどれか一つに当てはまれば合同だといえる。
三角形の合同条件

  • ①3組の辺がそれぞれ等しい。
  • ②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
  • ③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

合同条件と共に「証明」についても学習する。数学における証明とは仮定や図形の性質を根拠として結論を導くことである。等式を用いて説明するが、どの式にも理由が必要である。合同な図形の性質として、合同な図形の対応する角、辺はそれぞれ等しい。この性質を利用し線分の長さや角度が等しいことを証明する方法もある。そのためまずはじめに三角形の合同を証明する。
(例)AB=CB, AD=CDのとき ∠BAD=∠BCDを証明。
三角形の証明問題.png
【証明】
△ABDと△CBDにおいて
仮定より AB=CB, AD=CD
共通なので BD=BD
よって3組の辺がそれぞれ等しいので △ABD≡△CBD
合同な図形の対応する角は等しいので ∠BAD=∠BCD

三角形の相似条件

詳細は「相似」を参照。

三角形の種類と性質

三角形の種類.png
  • 二等辺三角形
    定義は「2辺が等しい三角形」。二等辺三角形で等しい2辺の間の角を頂角、頂角以外の2角を底角、頂角の対辺を底辺という。二等辺三角形の底角は等しく、二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分することを定理として学習する。二等辺三角形になるための条件は、2辺が等しい(定義)か2角が等しいのどちらかを満たせばよい。
  • 直角二等辺三角形
    定義は「二等辺三角形のうち、直角三角形の直角をはさむ2つの辺が等しい三角形」。
  • 正三角形
    定義は「3辺が等しい三角形」。正三角形の3つの角は等しいという性質がある。
  • 直角三角形
    定義は「1つの角が直角の三角形」。直角三角形は、1つの角が90°なので残りの2つの角はともに鋭角である。また、直角の対辺のことを斜辺という。直角三角形では三角形の合同条件以外に、下記の2つの条件でも合同を証明することができる。
    直角三角形の合同条件
    • ①斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
    • ②斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

なお、直角三角形では三平方の定理が成り立つ。

高校数学における三角形

高校数学では、三角形の成立条件やヘロンの公式、内心・外心・垂心・重心・傍心などの五心を学習する。詳細は該当項目を参照。

関連項目