三角比

Last-modified: 2022-08-16 (火) 20:20:22

三角比の定義

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直角三角形△ABCがあり、Cが90°である時、
ある90°でない角をΘ°(ここではAとする)と置くと、
・90°の角(C)に対向する辺ABを斜辺
・その角と対向する辺BCを対辺
・その角の隣にある斜辺でない辺ACを隣辺
と置く。
ここで

正弦 sin (サイン)=対辺/斜辺
余弦 cos (コサイン)=隣辺/対辺
正接 tan (タンジェント)=対辺/隣辺

と定義される。

三角比の拡張

また、これらの比をx-y座標上に置いた半径が1の
円に斜辺が半径となっている直角三角形の円に接する点の
それぞれのx, yの値で定義することにより、
180°を超えた三角比を求めることができる。
(cosΘはx座標に対応し 、sinΘはy座標に対応する)
この時のtanの値は斜辺の傾きと捉えることができる。

三角比の性質

上記の方法により三角比を定義すると
三平方の定理により、次式が求められる。

・sin²Θ+cos²Θ=1
式を変形して
・sinΘ=√1-cos²Θ
・cosΘ=√1-sin²Θ (cosΘ>0)
・cosΘ=-(√1-sin²Θ) (cosΘ<0)
また、円をぐるっと90°回すと考えると、
・sin(90-Θ)=cosΘ
・cos(90-Θ) =sinΘ
・tan(90-Θ) =1/tanΘ
が成り立ち、
円を裏返すと考えると
・sin(180-Θ) =sinΘ
・cos(180-Θ) =-(cosΘ)
・tan(180-Θ)=-(tanΘ)
という式が求められる。

三角比の重要定理

三角形△ABC(直角三角形じゃなくてもよい)の
角ABCそれぞれに対向する辺の長さを
a, b, cと置くと、次の定理が成り立つ。

【正弦定理】
三角形の外接円半径をRとすると
・a:b:c:=sinA:sinB:sinC
式を変形し、
・a/sinA=b/sinB=c/sinc
円周角の定理により
・a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

【余弦定理】
・a²=b²+c²-2bc(cosA)
・b²=a²+c²-2ac(cosB)
・c²=a²+b²-2ab(cosC)

逆三角比

余談だが、三角比の逆数で
定義をされている比がある。 誰が使うのだろう
・cosecΘ=1/sinΘ (コセカント)
・secantΘ=1/cosΘ (セカント)
・cotΘ=1/tanΘ (コタンジェント)

三角関数への導入

ある角度xをもつ直角三角形の三角比はそれぞれ
sinx
cosx
tanx
として関数として表現することができる。
このとき、y=sin(x)とy=cos(x)のグラフはずれているものの
最高値が1、最低値が-1
振動する波形 になる
この波形は自然界や工業に良く出てくる。
また、大学数学のフーリエ変換などでも使用されるので
グラフをよく見ることでより広い数学
の視野を持つことができると言える。

コメント

  • 数学ガチ勢さんさすがっす -- 2022-08-16 (火) 20:17:01
  • 三角関数のページがひどいことになっているので誰か編集してください!お願いします!何でも(ry -- 2022-08-16 (火) 20:20:22

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