公約数

Last-modified: 2021-10-20 (水) 23:47:54

公約数とは、2 つ以上の自然数について、そのいずれの約数にもなることができる整数のことである。因みに英語ではcommon divisorかcommon factorと言う。なお、最大公約数が1であるような2つの整数の組は「互いに素である」という。

概要

2つ以上の整数に共通な約数(割り切れる数)。公約数は、最大公約数の約数となる。例えば、12と15の公約数は12と15の最大公約数3を求め、最大公約数3の約数 1, 3となる。一般には約数は自然数の範囲内で考えることが多いので、例えば36,48,108の公約数は{1,2,3,4,6,12}である。約数を整数の範囲内で考えるとき、約数には符号の違いを許すので、その個数は2倍となる。つまり、どういう範囲で考えているのかを常にはっきりさせておくべきである。

公約数の求め方

※「最大公約数」も参照。
公約数の内最大のものを最大公約数という。公約数は、全て最大公約数の約数であるので、最大公約数を求めれば全ての公約数を求めることができる。前述の例で言えば、36と48と108との最大公約数は12であるので、12の約数をすべて求めればそれが3つの数の全ての公約数になる。1は全ての自然数の公約数である。

また、2つ以上の多項式について、それぞれを因数分解したときに共通に現れる因数も公約数と呼ぶ。例えば、 (x+1)²と x²-1について、x+1は公約数である。

算数における求め方

例として、8と12の2つの整数があるとする。以下の手順で簡単に解ける。

  1. それぞれの整数の約数を求める。
  2. 共通となる約数を探す。

よって、この例では
8の約数=1、2、4、8
12の約数は=1、2、3、4、6、12
となり、共通になっている約数を探すと1、2、4が共通になっていることがわかる。
したがって、8と12の公約数は、{1、2、4}となる。

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