四角形

Last-modified: 2020-06-04 (木) 15:08:37

四角形は、平面上で4本の直線に囲まれた平面上の図形。多角形の一種で、4つの頂点と4本の辺を持つ。頂点を共有しない辺を対辺、辺を共有しない二頂点を対頂点、対頂点における内角を対角、対頂点を結ぶ線分を対角線という。

算数における四角形

算数では四角形の面積を求める問題が多い。

種類面積の求め方
正方形[一辺]²
長方形[縦]×[横]
菱形・凧形・直交対角線四角形[対角線]×[もう一つの対角線]÷2
平行四辺形[底辺]×[高さ]
台形([上底]+[下底])×[高さ]÷2

四角形の分類

四角形の種類2.png
  • 台形
    少なくとも一組の対辺が平行であるような四角形。
  • 等脚台形
    台形のうち、1つの底辺をはさむ 2 角の大きさが等しいもの。
  • 凧形
    それぞれ長さの等しい2 辺によってはさまれた対角を持つ四角形。
  • 長方形
    4 角の大きさが全て等しい四角形。
  • 菱形
    4 辺の長さが全て等しい四角形。
  • 正方形
    4 辺の長さが全て等しく、4 角の大きさが全て等しい四角形。
  • 平行四辺形
    2 組の対辺がそれぞれ平行である四角形。

中学数学における四角形

平行四辺形

上述したように平行四辺形の定義は「2組の対辺がそれぞれ平行な四角形」である。その平行四辺形の定義からつぎの性質を導くことができる。

  • 2組の対辺はそれぞれ等しい。
  • 2組の対角はそれぞれ等しい。
  • 対角線はそれぞれの中点で交わる。

平行四辺形になるための条件
次の条件のうちどれかが成り立てば平行四辺形となる。

  • 2組の対辺がそれぞれ平行
  • 2組の対辺がそれぞれ等しい。
  • 2組の対角がそれぞれ等しい。
  • 対角線がそれぞれの中点で交わる。
  • 1組の対辺が平行でその長さが等しい。

図形の証明の方法は1通りとは限らない。上記の例でも2組の対辺の長さや、2組の対辺の角などを使った 証明も可能である。

平行線と面積

底辺の長さと高さがそれぞれ等しければ面積は等しくなる。例えば、△ABCと底辺BCが共通の△PBCがある。△ABCと△PBCの面積が等しい場合、両方の三角形の高さが等しいので直線APと直線BCは平行になる。つまり、△ABCと等しい面積の△PBCを作るにはAを通りBCに平行な線をひき、その平行線上にPをとる。これを等積変形という。
また、△ABCと△ACDは底辺が同一直線上にあって頂点Aが共通なので高さが等しい。底辺の比BC:CD=a:bなら、面積比△ABC:△ACD=a:bとなる。CがBDの中点ならACは△ABDを2等分する。よって、高さが等しければ底辺の長さの比が面積比と等しくなる。

関連項目