因数分解

Last-modified: 2020-04-08 (水) 18:56:14

因数分解とは、ある多項式を多項式の積に変換することである。公式を使って行うほか、自力で導くことができる。

共通因数でくくる

  1. ac+bc=c(a+b)
    分配法則を想像すれば、右辺から左辺への変形はわかる。
    両辺は等号で結ばれているため、左辺から右辺の変形ができる。

因数分解公式・基本四種

  1. x^2+x(a+b)+ab=(x+a)(x+b)
  2. x^2±2ax+a^2=(x±a)^2
  3. a^2-b^2=(a+b)(a-b)
  4. acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

上の四公式は特に重要である。

対称式の因数分解

  1. a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
  2. a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2cd+2da+2ac+2bd=(a+b+c+d)^2
  3. a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
    上の公式は、有名なので高校数学で問われやすい。特に, c=1, -1と置いたときも対応できるようにしたい。
  4. x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc=(x+a)(x+b)(x+c)
  5. x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=(x-a)(x-b)(x-c)
    上の公式は、解と係数の関係を用いるときによく使う。

二項定理を使う因数分解

  1. a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
  2. a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3
  3. a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
  4. a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
  5. a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=(a+b)^4
  6. a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4=(a-b)^4
  7. a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)
  8. a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+b^(n-1))

たまに見る種類

  1. a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc=(a+b)(b+c)(c+a)
  2. a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)
    形が似ていてかわいい。特に前者と後者を組み合わせて
  3. (a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)
    などは、なんかかっこいい。

たまに見る変形

  1. 2(x^2+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2
    これを利用して、次の因数分解がわかる。
  2. 4xy=((x+y)^2-(x-y)^2)
    この式変形を使って、下の公式がわかる。
  3. a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)
    この結果は美しい。上の公式は、ヘロンの公式の証明で使うこともある。

複二次式の因数分解

  1. x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)
  2. a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)
    上の因数分解は是非挑戦してほしい。「うまい」変形を肌で感じられる素晴らしい因数分解である。

因数定理

x-aが多項式P(x)の因数であることは, P(a)=0であることと同値である。
これを利用して, 因数分解を楽にすることができる。
例: x^3-3x^2-9x-5は, x=-1を代入すると -1-3+9-5=0 となるから, (x+1)を因数に持つ。そうすれば, (x+1)(x^2-4x-5)となってあとは楽に (x+1)^2(x-5)と因数分解できる。

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