多項式

Last-modified: 2020-06-04 (木) 15:10:42

中学数学における多項式

式の展開

簡潔に言うと、展開とは「カッコを開く」こと。カッコを開くときには分配法則を使う。例えば、2(a+3)のカッコをはずす場合、2をaと+3の両方に掛け算して2a + 6となる。これがもっとも基本の展開である。また、(a+2)(b+1)のように1次式どうしの掛け算を展開する際も分配法則を使う。aをbと+1の両方に、+2をbと+1の両方にそれぞれ掛けて、ab+a+2b+2となる。 展開の基本は分配法則である。先に公式を暗記するより、まずは分配法則をつかって確実に展開できるようになってから公式を覚えたほうが上達も早く、応用にもつよくなる。
(x+5)²など2乗を展開する場合、(x+5)² = (x+5)(x+5) として、分配法則を使って展開する。また、(x+3)(x-3)のような和と差の積はよく出てくる形で応用もたくさんあるので重要。(x+3)(x-3) = x²-3x+3x-9=x² -9 ここでは、+3xと-3xの同類項をまとめると0になることに留意する。さらに3数の展開も2数と同様に、一方のカッコ内の各項を他方にかけて、分配法則でカッコをひらく。例えば、(a+b)(x+y+z)では、aを(x+y+z)にかけ、bも(x+y+z)にかける。展開後はax+ay+az+bx+by+bz。

因数分解

※詳細は「因数分解」を参照。
多項式を2つ以上の単項式や多項式の積の形で表すことを因数分解という。 そして因数分解は展開の逆をすればできる。因数分解の上達のためには、展開をしっかり理解し、どのような展開でも容易に解けるようでなければならない。
因数分解をする場合、まず各項すべてにかけられている数字や文字がないか確かめる。この「共通にかけられている文字や数字」を共通因数という。x(a+b) = ax+bx この展開をすると左辺のカッコの外のxが右辺では共通因数となるので、xを前に出してのこりをカッコでくくるような因数分解ができる。これを「共通因数をくくりだす」という。
x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)となるような(x+a)(x+b)の形に因数分解できる場合、xの項の係数はaとbの和、定数項はaとbの積になる(多項式の乗法の逆)。 例えば、x²+9x+20 を因数分解する場合、まず積が20になる2数の組み合わせを考え、その組のうち和が9になるものを導く。結果的にx²+9x+20=(x+4)(x+5)となる。
定数項がa2で、xの係数が2aなら2乗の因数分解になる。

  • x²+2ax+a² = (x+a)²
  • x²-2ax+a² = (x-a)²
    xの項が無くなる展開は和と差の積のときである。
  • x²-a²= (x+a)(x-a)

2乗の因数分解や和と差の積を使う因数分解をする場合、整数の2乗がわかっていたほうが素早く因数分解を行える。「15の2乗が225」あたりまでは、因数分解だけでなく、平方根や2次方程式、2乗に比例する関数でもよく使うので覚えたほうが良い。

高校数学における多項式

数学Ⅰにて、多項式の基本的な扱い方を学習する。詳細は「整式(高校数学)」「整式の乗法(高校数学)」を参照。

関連項目