式の計算

Last-modified: 2020-06-04 (木) 15:05:30

ここでは、中学数学の単元の一つ「式の計算」について説明する。内容は1年生で扱う文字式の応用で、3年生で扱う多項式の学習過程に当たる。

計算と基本事項

文字や数の乗法だけで作られた式のことを単項式という。また、単項式の和の形で表された式のことを多項式という、多項式の中の一つ一つの単項式がである。単項式では、かけられている文字の数が次数である。一方、各項の次数のうちで最も大きいものがその多項式の次数となる。次数が1の式を1次式、次数が3の式を3次式という場合もある。
単項式どうしは文字の部分が同じなら足し算、引き算することができ、これを「同類項をまとめる」という。同類項とは文字の部分が全く同じ項を指すが、累乗の指数まで完全に同じでないと同類項ではない。また、分配法則の逆を使うと同類項をまとめることができる。
多項式の加法は、それぞれの式にかっこをつけて、+でつないぐ。計算するときはかっこをそのままはずして同類項をまとめる。多項式の減法もそれぞれの式にかっこをつけて-でつないぐが、前に負の符号があるかっこをはずすときはかっこ内の各項の符号を変えることに注意する。
式のなかの文字を数字に置き換えることを代入という。また、代入して計算した結果を式の値という。

式による説明

式による説明とは、数について、ある性質が成り立つことを文字を使った式で説明すること。

文字を使って数を表す

倍数

整数に3をかけてできる数を3の倍数という。 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9・・・つまり、3の倍数は3×整数である。 整数をnとして、3の倍数は3nと表せる。同じようにnを整数として4の倍数は4n, 11の倍数は11nなどと表せる。また、2の倍数は偶数のことなので偶数は2nと表せる。

あまり

3の倍数は、3で割り切れる数である。 3n÷3=n, 3÷3=1, 6÷3=2・・・3で割り切れる数に1を足すと3n+1, 3+1=4, 6+1=7, 9+1=10・・・割り切れる数に余分な1を足しているのでこれらの数を3で割ると1あまる。つまり3n+1は3で割ると1あまる数を表している。同じように3n+2は3で割ると2あまる数、 7n+4は7で割ると4あまる数である。また2n+1は2で割ると1あまる数、いいかえると 2で割り切れない数、つまり奇数を表す。

連続する数

3つの連続する自然数、例えば3, 4, 5や10, 11, 12など連続する自然数はかならず1ずつ大きくなるので、はじめの自然数をnとすると次はn+1,その次はn+2となる。つまり3つの連続する自然数は、はじめの自然数をnとしてn, n+1, n+2と表せる。3つの連続する奇数、たとえば5, 7, 9や17, 19, 21など今度は2ずつ大きくなっている、nを自然数とすると奇数は2n+1なので2つ目は2を加えて2n+3, その次はさらに2を加えて2n+5となる。同じようにして3つの連続する偶数は2n, 2n+2, 2n+4と表せる。※自然数ではn-1からはじめてn-1, n, n+1,奇数では2n-1からはじめて2n-1, 2n+1, 2n+3などでもかまわない。

2けたの自然数

2けたの自然数76では、十の位の数が7、一の位の数が6である。これは76は10が7個と1が6個でできていることを表している。 つまり76=10×7+1×6。文字を使って十の位の数をa, 一の位の数をbとすると 2けたの自然数は10a+b。 同様に3けたの自然数は百の位の数x,十の位の数y, 一の位の数zとして100x+10y+zとなる。

解答方法

式による説明は文字・計算・結論の3つの部分でできていると考えれば、分かりやすい。例えば、「3つの連続する偶数の和は6の倍数になる」という文では3つの連続する偶数をA、和をB、6の倍数になるをCと見立てる。つまり、Aの部分を文字で表し、計算はB(和)を行い、最後に計算の結果がC(結論)となることを説明する。Aを文字で表し、3つの連続する偶数は、nを整数として2n, 2n+2, 2n+4と表せる。作った文字式の和を計算する(このとき分配法則の逆をおこなう)→2n+(2n+2)+(2n+4)=6n + 6=6(n + 1)。計算の結果がC(結論)となっていることを説明。nが整数であれば(n+1)も整数なので6(n+1)は6×整数となり6の倍数である。よって3つの連続する偶数の和は6の倍数となる。

関連項目