数学上の未解決問題

Last-modified: 2021-09-18 (土) 16:37:33

このページを理解するには数学の中学1年生以上の知識が必要です。

概要

現在数学は様々な分野に別れ、発展を遂げているが、そのなかにも未解決の問題は存在する。
本項ではそれ*1を解説する。

問題文の理解に必要な知識

小学生レベル
中学生レベル
高校生レベル
高等数学

纏まっているもの

ミレニアム懸賞問題

クレイ数学研究所によって懸賞金(100万ドル)が掛けられている問題。

ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題

任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が 'R⁴上に存在し、質量ギャップ Δ>0 を持つことを証明せよ。

リーマン予想

リーマンゼータ関数 ζ(s) の非自明な零点 s は全て、実部が 1/2 の直線上に存在する。

解説

1以外の複素数全体で定義される関数をゼータ関数といい、ζ(z)とあらわす。
またζ(z)=0となるzをゼータ関数の零点といい、特にzが負の偶数のとき自明な零点という。
以上の点を踏まえてリーマン予想を簡単に書き換えると

ζ(z)=0ならばzは負の偶数またはzの実部*2が1/2である

とできる

P≠NP予想

計算複雑性理論におけるクラスPとクラスNPが等しくない。

解説

P...多項式時間*3で解ける問題の集合
NP...多項式時間で正解の合否を判定できる問題の集合
このPとNPは同じものではない。という予想

ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ

3次元空間と(1次元の)時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義されるか。

解説

流体力学の重要な方程式のナビエ-ストークス方程式に解が存在するか否か、という問題。2次元には存在することが証明された。

ホッジ予想

複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。

バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数(ランク)が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。

単発

無限に存在するか?

レピュニット素数

レピュニット素数は無限に存在するか?

レピュニット素数とは桁数が総て1である素数のことである。

いかなる数でも収束するか?

次の関数を無限回作用させたときに既知のループに突入するか?

3n+1予想

C(n)はnが偶数ならn/2、奇数なら3n+1にする関数である。

おそらく別名が一番多い問題であり、角谷、米田、ウラム、Thwaites、Hasse、Syracuse、hailstone numbersなどの名前がある。

説明

ある数を、偶数なら2で割り、奇数なら3をかけて1を足し、そうして出てきた数に同じ操作を加えると1→4→2→1というループに必ずなるという予想。
一見簡単そうに見えるが、1937年の問題の提起以降証明されたことはない。

ジャグラー数列

J(n)はnが偶数なら√n、奇数なら√n^3(どちらも小数点切り捨て)にする関数である。

予想

ルジャンドル予想

n²と(n+1)²の間には必ず素数が存在する

ゴールドバッハ予想

全ての 2 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる

カタラン予想

xᵃ-bᵄ=1(x,a,y,b>1)を満たす自然数解はx=3, a=2, y=2, b=3のみである

アンドリカ予想

総てのnについてpₙをn番目の素数とすると√pₙ+₁-√pₙ<1が成り立つ

リクレル数問題

十進数のリクレル数は存在するか

リクレル数とは、ある数字とそれの桁を前後反転したものを足す*4ことを繰り返して、回文数*5とならない数のことである。

ソファ問題

L字型の通路を通すことができる、ソファの面積の最大値Aを求めよ

L字型の通路を回転だけで通すことができる図形の最大値Aを求める問題である。

可融数

可融差関数から生まれる数列の収束速度はε0で抑えられるか?

可融差関数とは

蚊取り線香に火をつけるパズルがある。
この蚊取り線香には根本か先端に火をつけることが許されていて、片方にだけつけた時には1分で燃え尽きる。両方に同時につけた時には1/2分で燃え尽きる。
最初か蚊取り線香のいずれかが燃え尽きた時に他に火をつける操作で計ることができる数を可融数と呼ぶ。
可融差関数はある数Xが与えられたときに、それを上回る最小の可融数とXの差を返す関数であり、X=3の時点で10→10→10の逆数を下回る。

合同数問題

どのような数が合同数となりうるか

合同数とは、辺の長さが有理数である三角形の面積の数値である

ブニャコフスキー予想

整数係数を持つ2次以上の既約多項式は、自然数の引数に対して1より大きな最大公約数を持つ無限集合を生成するか、もしくは無限個の素数を生成する

エルデシュ-シュトラウス予想

2以上の任意の自然数Nに対して 4/N=1/l+1/m+1/nを満たす自然数l,m,nが存在する

コンウェイ問題

99の頂点を持ち、任意の隣接する2頂点がちょうど1個の共通の隣接頂点を持ち、任意の隣接しない2頂点がちょうど2個の共通の隣接頂点を持つ無向グラフは存在するか?

ゴールマハティヒ予想

xᵐ-1/x-1=yⁿ-1/y-1 の非自明な整数解は(x,y,m,n)=(5,2,3,5),(90,2,3,13) のみである

ランダー・パーキン・セルフリッジ予想

k乗数の和がk乗数と等しい場合、項の数は少なくともkである

フェルマーの最終定理の発展形である。

ビール予想

Aˣ+Bʸ=Cᶻとなりx,y,z≧3であるならばA,B,Cは互いに素である

藤村の三角形問題

平面上に k 本の直線を引くときに重なり合わずに作ることのできる三角形の最大数 N(k) を求めよ

Recamán's sequence

Recamán's sequenceは全ての数を通るか?

Recamán's sequenceとは

a_0=0で、n-1番目の項がnより大きければn引く、小さければn足す操作を繰り返す数列。
n=1000兆までやった結果、852,655だけが表れていない。
ちなみにこの数列はオンライン整数列大辞典のロゴに使われている。

すでに解かれたが、有名なもの

ミレニアム懸賞問題

ポアンカレ予想?

単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S³に同相である

他の予想

ABC予想

a + b = c を満たす、互いに素な自然数の組 (a, b, c) に対し、積 abc の互いに異なる素因数の積を d と表す。このとき、任意の ε > 0 に対して、c > d1+ε 満たす組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろうか?

連続体仮説

ℵ₀<cardΩ<ℵ となる集合Ωは存在しない

解説

自然数も実数も無限個存在する。しかし0~1の区間において自然数と実数の個数は

自然数2個(0,1)
実数無数

である。
0~1といった区間はどこまでも拡張できるので、無限の区間においても
(実数の個数)>(自然数の個数)
が成り立つ。
なので実数の無限と自然数の無限は別物であると考えられた。
ここで自然数の無限を考える。
自然数の無限に1を足しても2を足しても自然数の無限である。
また自然数の無限に自然数の無限を足しても自然数の無限である。
しかし実数の無限は自然数の無限ではない。
なので自然数の無限の次に多いのは実数の無限ではないか?
というのが連続体仮説の主張である。

フェルマーの最終定理

3以上の自然数nについて、不定方程式xⁿ+yⁿ=zⁿのxyz≠0となる解は存在しない。

ポリア予想

任意の n (> 1) に対し、それ未満の自然数のうち素因数が奇数個のものの個数は、素因数が偶数個のものの個数以上である

1960年に反例n=906180359,また1980年に最小の反例n=906150257が発見され否定的解決がなされた。

三大作図問題

円と同面積の正方形を作図せよ

ある立方体の倍積の立方体を作図せよ

任意の角を三等分せよ

総て作図の不可能性が証明されている。

四色問題

平面グラフは常に4彩色可能であるか?

解説

平たく言うと、

地図において隣り合う国*6に同じ色を塗らないとして、4色のみで彩色できるか?

となる。

コメント欄

  • 良いねぇ‼︎このページ‼︎あんま分からんけど凄い -- r。 2021-07-04 (日) 15:16:14
  • まあリーマン予想とか虚数やってないとわからないので -- 形跡 2021-07-04 (日) 15:17:56
  • でもゴールドバッハ予想とか簡単そうなのに証明できないの面白くないですか> -- 形跡 2021-07-04 (日) 15:19:34
  • ? -- 形跡 2021-07-04 (日) 15:19:44
  • ↑↑面白いですね -- りんまり。 2021-07-04 (日) 15:21:42
  • すごいなl -- ペッツの切れ端 2021-07-04 (日) 18:22:52

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Tag: 数学 予想 未解決


*1 特に理解しやすいもの
*2 複素数a+biにおいてaを実部という
*3 解ける時間の上限が多項式で表せるもの。ほぼ有限時間で解くことができる
*4 リクレルプロセスという
*5 1の位から読んでも一番上の位から読んでも同じな数のこと。14541など。
*6 点で接している場合は隣り合うということにしない