ABC予想

Last-modified: 2021-09-16 (木) 14:45:55

このページを理解するには数学の高校~大学レベル以上の知識が必要です。

概要

ABC予想(別名:オステルレ–マッサー予想)とは、1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーにより問題が提起された、数学上における最も難解な証明問題である。
この予想を簡潔にいうと『互いに素でありかつA+B=Cを満たすような3つの自然数、A, B, Cの和と積の関係について』の証明を行うための問題である
ABC予想が仮に、証明されることができた場合、数学上の難問(フェルマーの最終定理、モーデル予想、エルデシュ=ウッズ予想など)が安易に証明できるようになるという

問題文

A+B=Cを満たす、互いに素な自然数の組 (A,B,C) に対し、積ABCの互いに異なる素因数の積をDと表す。このとき、任意のE>0に対して、C > D1+E
を満たす組 (A,B,C) は高々有限個しか存在しないであろうか?

証明のための試み

ABC予想を証明するためのさまざまな試みが現在に至るまで様々なプロセスでされてきたが、完全な証明方法になるような『完璧な解答』は発見されていない。
2012年8月30日、京都大学数理解析研究所教授の望月新一氏が『ABC予想』を証明したとする論文がインターネットで公開された。
イギリスの科学誌ネイチャーは、『同氏は新たな数学的手法を開発し、それを駆使して証明を展開しているため査読に時間がかかるだろう』と報じた。
同氏はABC予想の証明に使用した理論を『宇宙際タイヒミュラー理論(IUTeich)』と呼んでおり、スピロ予想とヴォイタ予想の証明などを含む応用性があり、上記などに記されてある『数学上の難問』を解くための強力な鍵になると認識している。
同氏が2012年10月に発表した論文には『ヴェッセリン・ディミトロフ』と『アクシェイ・ヴェンカテシュ』により誤りが指摘されるが、同氏は指摘を認めつつ『宇宙際タイヒミュラー理論』の本質・重要的なところは全く問題がないとしつつ、訂正を約束した。
同年12月より指摘事項が修正され、他のところも修正された訂正論文が発表されている。
2015年、『イヴァン・フェセンコ』によって、同氏の『宇宙際タイヒミュラー理論』に対する初のサーベイ論文が発表される。
2017年9月1日、京都大学数理解析研究所の『山下剛』から『宇宙際タイヒミュラー理論』に対する世界的には二度目のサーベイ論文が発表された。

2017年12月、5年余りの査読によって、同氏の論文が、京都大学数理解析研究所の編集する専門誌『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences』 (以下『PRIMS」)に掲載される見通しになったという報道もあったが、実際には掲載されず、査読は2020年まで続いた。
2020年2月に望月の証明が『PRIMS』の査読を通過したことが、同年4月に同研究所の数学者柏原正樹らによって発表された。
2021年3月4日、望月の論文が『PRIMS』の特別号電子版に4日付で掲載された。この論文に対する懐疑的な見方について、京都大の玉川安騎男は「反論は出尽くしており、今後も評価は平行線のまま」としている。
2021年7月31日、ヨーロッパ数学会が運営するzbMATHにペーター・ショルツェの書評が掲載され、「このシリーズの最初の3つのパートにおいて、読者は残念ながら実質的な数学的内容をほんの少ししか見出さないだろう。第2部と第3部では,肝心のCorollary 3.12以外に、数行以上の証明を見出さないだろう」という否定的なコメントが付された。

途中からWikipediaから引用

この問題の本質的な考え方

『ABC予想』を解いたという望月氏の『宇宙際タイヒミュラー理論』について、同氏のブログでこう語られている

「数論幾何において本質的なのは、環やスキームのような‘具体的’な対象たちではなく、むしろそれら
 の具体的なスキーム論的な対象たちを統制している、様々な(‘組み合わせ論的アルゴリズム’に近い)
 抽象的なパターンである。」

望月氏のブログから引用

望月氏の論文

宇宙際タイヒミュラー理論
[1] Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters.
[2] Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation.
[3] Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice.
[4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.

同氏のブログから引用

[1] 宇宙際タイヒミュラー理論 I: ホッジ劇場の構築.
[2] 宇宙際タイヒミュラー理論 II: ホッジ-アラケロフ理論的評価.
[3] 宇宙際タイヒミュラー理論 III: ログ・シータ格子の正準分割.
[4] 宇宙際タイヒミュラー理論 IV: ログボリューム計算と集合論的基礎.

上の四つを訳したもの

望月氏のブログにあるものだが、上のものを見ていただけたらわかるように、全部で4つの章から構成されている
さらに、一つの章につき、約200ページ、全て英語で記載されている
これを査読した人たちは、本当にすごい。。。

途中に出てきたさまざまな証明について

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