激運の効果

前提とする知識
・ある程度確率について理解している(大前提/高校程度の知識でいい)
報酬枠数決定の規則
・それぞれの最小枠までは100%獲得保障
・最小枠以降は、上記獲得確率により抽選する
　→抽選により獲得できた場合は次の枠を同様に抽選する
　→抽選により獲得できなかった場合はその時点で終了
・最大枠に達するか、抽選に外れて終了した時点での数が報酬枠数になる
運気に関するスキルによる報酬獲得確率
・激運：29/32（90.625%）
・幸運：26/32（81.25%）
・無し：22/32（68.75%）
基本報酬枠
・サブターゲット無しの基本報酬：最大10（最小4）
・サブターゲット有りの基本報酬：最大8（最小3）
以上が頭に入っていることを前提に激運の効果について検証してみます

本題

激運をつける目的は特定素材の入手確率を上げることだと思います
では運気スキルの有無によって少なくとも1つ特定の素材を入手できる確率がどう変化するのか調べてみましょう

ここで問題になるのが報酬枠は確定枠と抽選枠に分かれていることです
運気スキルによって抽選枠の確率が変化するため激運ならば報酬が多くもらえるということになります

例：サブターゲットが無いクエストの場合

簡単のため最小枠である4枠目まででまずは考えて見ましょう
この場合余事象によって求めたい確率は簡単に決まります
少なくとも1つ出る確率＝1-1つも出ない確率　と言い換えることが可能だからです
4枠目までの報酬で1つも出ない確率は
(1-素材が出る確率)^3　注：^nはn乗を表し、2^2=4 10^3=1000
また、確定報酬は1枠目に必ず来るのでそれは除外してあります　考えても仕方ありません
例えば8％のメルクリメモクエストの場合は次のようになります
基本報酬4枠が出て、その中にメモが1つ以上含まれている確率は
1-(1-0.08)^3=0.221312≒22%　となります
確定枠が3枠のサブ有クエの場合も同様に考えることが出来ます
ではより一般化して考えて見ましょう
条件は次の通りです
・欲しい素材Xは基本報酬に確率pで出現する(小部屋さんに表示されている確率だと思ってください)
・報酬枠抽選の確率はqで表されるものとする(激運なら29/32,幸運なら26/32,なしなら22/32です)
・一回のクエストで少なくとも一つXが手に入る確率を求める
この問題は次のような問題だと解釈することが出来ます
1)表になる確率pのコインAがある
2)表になる確率qのコインBがある
①コインAを3回(もしくは2回)投げる
②コインAを投げた後コインBを投げる
③コインBが表ならば再びコインAを投げコインBを投げる
④コインBが裏ならば試行は終了する
⑤コインAを投げられる回数は最大で10回(もしくは8回)である
①～⑤までを1回の試行とした時、コインAが少なくとも1回表になる確率はいくらか？
コインAを素材の抽選、コインBを枠の抽選と解釈することが可能です
また確定報酬は考えていないので最初の1枠目の抽選は除いています

以下のようにこの問題を解いていきます
n回目にコインAを投げて、初めて表になる確率を求め、それをn=2～8or10まで足し合わせていきます
これで少なくとも1回コインAが表になる確率を求めることが出来ます
2回や3回出る場合はどうするの？という方がいるかもしれませんので少し解説します
仮に3回目でコインAが表になったとします
その後4回目や5回目でコインAがまた表になるかもしれません
しかしその確率は3回目でコインAが表になった確率に含まれています
どういうことかというと
コインAが3回目で表になる→4回目で表になる→5回目で表になる　①
コインAが3回目で表になる→4回目で表になる→→5回目で裏になる②
コインAが3回目で表になる→4回目で裏になる→5回目で表になる　③
コインAが3回目で表になる→4回目で裏になる →5回目で裏になる ④
このように全パターンを書けば分かると思いますが、3回目で表になる確率＝①＋②＋③＋④となります
「少なくとも1回」というのが求めたい確率なので、n回目で初めて表が出た時の確率のみを考えて足し合わせればよいことになります

つまり、報酬が確定である1枠目を除いて
2枠目で初めて出る確率+3枠目で初めて出る確率+4枠目で初めて出る確率+…
という風にすればいいわけです
では実際に求めて見ましょう

条件として、4枠目までは確定枠なのでコインBが表になる確率は1と判断できます
初めて表になる確率
02枠目：p
03枠目：(1-p)p
04枠目：(1-p)(1-p)p
05枠目：(1-p)(1-p)(1-p)qp
06枠目：(1-p)(1-p)(1-p)q(1-p)qp
07枠目：(1-p)(1-p)(1-p)q(1-p)q(1-p)qp
08枠目：(1-p)(1-p)(1-p)q(1-p)q(1-p)q(1-p)qp
09枠目：(1-p)(1-p)(1-p)q(1-p)q(1-p)q(1-p)q(1-p)qp
10枠目：(1-p)(1-p)(1-p)q(1-p)q(1-p)q(1-p)q(1-p)q(1-p)qp
少々分かりにくいと思いますので6枠目を例にとって解説します
06枠目：(1-p)(1-p)(1-p)q(1-p)qp　となっていますがそれぞれどのような意味かというと
最初の(1-p)は2枠目で素材の抽選に外れる確率
2つ目は3枠目で素材の抽選に外れる確率
3つ目は4枠目で素材の抽選に外れる確率
4つ目のq(1-p)は5枠目が出現する確率×5枠目で素材の抽選に外れる確率
5つ目のq(1-p)は5枠目が出現する確率×6枠目で素材の抽選に当たる確率
となっています
2枠目から10枠目までのそれぞれの式にpとqを入れて全て足し合わせることで求めたい確率が分かります
サブターゲットが無い場合も同様にして計算することが可能です
以上長々と説明をしましたが分からない場合は激運スキルスレへどうぞ