数学の紹介
♦ 組織と目的 ♦ 方法論 ♦ 特殊機能の♦表記法 共通表記と定義 ♦ グラフィック♦アプリケーション ♦ 計算 ♦ 検証 ♦ 特別謝辞 ♦
組織と目的
NIST Handbook of Mathematical Functionsの数学的内容は、10年間にわたって作成されました。プロジェクトのこの部分は、数学の編集者、著者、バリデーター、および NIST の専門スタッフで構成されるチームによって実施されています。また、プロジェクトのすべての側面に関する貴重な初期アドバイスは、10人の外部の共同編集者によって提供されました。
NIST Handbook は、1964 年に全米標準局によって NBS Applied Mathematics Series (AMS) の Number 55 として発行された Handbook of Mathematical Functions と基本的に同じ目的を持っています。この目的は、応用数学、物理科学、工学など、日常業務の過程で特別な機能に遭遇する研究者やその他のユーザーに参照ツールを提供することです。
数学プロジェクトチームは、1964年以降に発表された特殊関数に関する何百もの研究論文と多数の書籍を考慮に入れるよう努めてきました。その結果、AMS 55でカバーされた特殊機能に関する詳細情報を提供することに加えて、NISTハンドブックには、応用数学、物理科学、工学、およびその他の分野で暫定的に登場したいくつかの特殊機能が含まれています。たとえば、第16章、第17章、第18章、第19章、第21章、第27章、第29章、第31章、第32章、第34章、第35章、第36章を参照してください.
このハンドブックがAMS 55や他のハンドブックと異なる点は、他に2つあります。
まず、編集者は各章の技術コンテンツ全体に対して検証プロセスを導入しました。このプロセスは、通常の編集チェック手順を大幅に拡張しました。すべての章は、著者、バリデーター、編集者が完全に満足するまでに、いくつかの草稿(場合によっては9つ)を通過しました。
次に、序文で説明したように、Webバージョン(NIST DLMF)も利用可能です。
方法論
NIST ハンドブックと DLMF の最初の 3 つの章は、特殊関数の理論、計算、および応用において特に重要な数学的トピックの詳細な説明と参照を提供する方法論の章です。(これらの章は、複素変数、古典解析、および数値解析の大学大学院コースの背景資料としても役立ちます。
入手可能な文献において、本ハンドブックの観点から十分に扱われていないトピックには特に注意が払われています。これらには、例えば、分岐点と主値の新しい定義が提供される複素変数の多値関数が含まれます(§§1.10(vi)、4.2(i))。ディラックデルタ(またはデルタ関数)は、数学者にとってより理解しやすい方法で導入されます(§1.17)。微分方程式と差分方程式の数値的に満足のいく解(§§2.7(iv)、2.9(i));複素変数の数値解析(第3章).
さらに、二重漸近特性(第2章および§§10.41(iv)、10.41(v))を含む、特殊関数の非常に重要な漸近特性を導き出し適用するために使用される多種多様な分析方法の包括的な説明があります).
特殊機能の表記
各特殊機能の章の最初のセクション (第 5 章から第 36 章) には、その章の機能に採用されている表記法がリストされています。このセクションには、文献に登場した重要な代替表記も含まれている場合があります。いくつかの例外を除いて、採用されている表記法は、標準的な応用数学や物理学の文献の表記法と同じです。
例外は、既存の表記法に欠点があるものです。たとえば、超幾何学関数の場合、次の表記法をよく使用します
グラフィックス
1つの実変数を持つ特殊関数は、従来の2次元(2D)折れ線グラフでグラフィカルに描かれています。たとえば、図 10.3.1–10.3.4 を参照してください。.
2 つの実数変数を使用すると、特別な関数が 3D サーフェスとして描かれ、垂直方向の高さは関数の値に対応し、3D の性質を強調するために色付けが追加されます。例については、図 10.3.5 ～ 10.3.8 を参照してください。
複素変数を持つ特殊関数は、2 つの実数変数の関数と同様に色付きの 3D サーフェスとして描かれますが、垂直方向の高さは関数のモジュラス (絶対値) に対応します。たとえば、図 5.3.4–5.3.6 を参照してください。ただし、多くの場合、表面の色付けは、関数の位相が属する平面の象限を示すために選択され、それによって 4D 効果が得られます。この場合、第1象限、第2象限、第3象限、第4象限に対応する位相色は、それぞれ青、緑、赤、黄のアルファベット順に並べられ、図の横に「象限色」のアイコンが表示されます。たとえば、図 10.3.9–10.3.16 を参照してください.
最後に、ユーザーは一部の4Dタイプの表面の色境界に滑らかさが欠けていることに気付くかもしれません。たとえば、図10.3.9を参照してください。この非滑らかさは、フィギュアの生成に使用されたメッシュが、色境界の滑らかさではなく、表面の滑らかさに対してのみ最適化されていたために発生します。
アプリケーション
すべての特殊機能の章には、章の主な機能の数学的、物理的、および場合によっては他のアプリケーションに特化したセクションが含まれています。これらのセクションの目的は、単に他の分野の機能の重要性を説明することです。網羅的な補償を提供する試みは行われていません。
計算
すべての特殊関数の章には、章の主要な関数を計算するための利用可能な方法を説明するセクションが含まれており、ほとんどの章では、これらの関数の数値表と近似への参照も提供しています。さらに、DLMF では、ソフトウェアが開発された研究論文への参照と、ソフトウェアを入手できるサイトへのリンクを提供しています。
数値表と近似を参照する際には、次のように表される表記を使用します。
、8D(8D)または8S。これは、変数
x
0 から 1 の範囲を 0.05 の間隔で表し、対応する関数値は小数点以下 8 桁または有効数字 8 桁まで表にされます。
別の数値規則は、小数点とそれに続くドットは丸められないことです。ドットがなければ、丸みを帯びています。例えば、4Dへ
(丸められていない) および 3.1416 (丸められています)。
検証
すべての方程式およびその他の技術情報については、このハンドブックと DLMF は、証明のための文献への参照を提供するか、証明を構築するために従うことができる手順を説明しています。ハンドブックでは、この情報はセクションレベルでグループ化され、「参考文献」セクションの「情報源」という見出しの下に表示されます。DLMF では、この情報はサブセクション・レベルのポップアップ・ウィンドウで提供されます。
AMS 55 に以前掲載されていた方程式やその他の技術情報については、通常、DLMF には、対応する AMS 55 方程式番号やその他の参照形式と、必要に応じて修正が含まれています。ただし、これらの引用はいずれも証拠を提供するとは見なされません。
特別な謝辞
私は、友人であり前任者であるミルトン・アブラモウィッツに敬意を表します。全米標準局数学関数ハンドブックの作成における彼の天才は、世界の科学、数学、および工学のコミュニティに莫大な配当を支払い、NIST数学関数ハンドブックとNIST数学関数デジタルライブラリの開発への道を開きました.
Frank W. J. Olver、数学編集者