機械工学/自由振動

自由振動

• 外力のない場合の振動現象

運動方程式

１自由度の線形振動系の力学モデルにおける数式表現

物理量

• 質量m[kg]：加速度に比例して生じる慣性力の比例定数
• ばね定数k[N/m]：釣り合い点からのずれに比例した復元力の比例定数
• 粘性係数c[Ns/m]：速度に比例して効く減衰力の比例定数

固有値解析

解の指数関数表示

１自由度の線形自由振動系の運動方程式

上式は２階の線型常微分方程式なので、一般解は次の形式で表せる。

ここで を振動の固有値と呼ぶ

固有方程式

この方程式を解いて、固有値 は次の２つである

固有値による振動状態の分類

• 固有方程式の根によって振動は振動状態は分類される
• 振動の分類は減衰・発散、振動・非振動の２つの属性で行われる

• 振動の固有値：振動数と減衰特性をまとめて１つの複素数で表現したもの
  • 固有値の実部：減衰特性
    負なら減衰（安定）、正なら発散（不安定）
  • 固有値の虚部：振動特性
    非０なら振動、０なら非振動

無次元化

減衰比 と固有振動数 を用いて書き換えた運動方程式

この時の固有値は

固有値のバリエーションが のみに依存する。

• 単振動:
• 減衰振動:
• 臨界減衰:
• 過減衰:

減衰比

振動波形が相似の場合、等しい値を取るように定義された減衰特性

固有振動数

減衰0()のときの自由振動の振動数　
i.e. 振動波形が相似でも、固有振動数が異なれば振動の速さは異なる。

強制振動

• 自由振動との違いは外力の有無
• 外力によって生じる振動を強制振動
• 強制振動＝自由振動成分 ＋　外力による振動成分

定常応答

• 外力による振動成分
  i.e.発生する振動から自由振動成分を取り除いたもの
• 強制振動の数式における特殊解

aaaaa

過渡応答

• 自由振動成分が減衰する前の、いわば振動が落ち着くまでの強制振動
• 強制振動の数式おける余関数

参考文献

• 短期集中：振動論と制御理論[工学系の数学入門]（吉田勝俊,2003,日本評論社）