虚数

虚数は2乗すると-1になる数のこと。
実際に存在しない数であるが、数を広げるものとなる。

目次

虚数って何？

虚数は「ι」と書くことができ、2回かけると、(ι²)-1になるという数。
一見普通だけれど、2乗すると-(負の数)になる数は実は普通にはありえない。
だけれど数を直線から平面に広げて、広ーく捉えることができるツールとして使える。
でも、虚数は+でも-でもない。それはなぜか？だって2乗して-1にできる数なんかないから。

2乗して-にする

どんな数でも2乗すると+になる。
例えば2²=4だし、(-4)²=16だし。
2乗して-になる数は存在しない。
けれど数学者が空想上のその数を作ったわけ。(すげーな)
だから、+でも-でもない特殊な数ってわけ。

虚数ってどこにいるの？

虚数は、+でも-でもないなら、数直線のどこにいるのか？
それは、この数直線にはいない。

実は数直線が全てではないのだ。
虚数を使うことでさらに広げることが可能！
それがこれだ

縦軸にιをつけて上に+、下に-で平面的に大きく見ることができることができるようになった。
虚数は縦軸を作り平面にツールとして作れるようになった！
ちなみにこれを「複素数平面」という

縦軸ができるわけ

そもそもなぜ縦に追加できるのか？
今回は+2を基準とする。
数を-1でかけると数はそのままで符号が変わる(+は-,-は+)。
(+2)×(-1)=-2となる。

• 1を虚数に変えると、「(+2)×ι×ι」で同じく-2となる。
  これは数直線上(縦軸なし)の0の原点を中心に180°回転したものである。
  つまり、「ι×ι」が180°回転させますよーってやつなわけ。
  じゃあι1つならどうなるか
  2つで180°なら1つで90°なはず。
  だから、+2から90°回転された位置に+2ιがあるわけ。

こんな感じ。普通なら縦軸と横軸の幅が同じで、綺麗な半円になるのだが…うん*1

数の表し方

ついに平面に、二次元に広がった数の世界だが、表し方はなんだろうか
まずは、原点とかいう「0」から伸びる縦軸と横軸の位置から。
数直線と同じように0からどの方向にどれくらい離れているかで読み取れる。
0より3右なら「+3」、左なら「-3」のような感じ。
上なら書いてあるように「+3ι」、下なら「-3ι」
たったこれだけ。

斜め位置の表し方

他にも縦と横の間(？)の点も表せる。
次の点も表すことができる。

次のA,Bを表してみる。
この点は、横軸を表したあとに縦軸を表すことで表現できる。
例えばAの横軸は+3に位置している。
そして、縦軸は、+2ιに位置しているので、まとめると、「+3+2ι」となる。
たったこれだけ。以上。
Bも-になっているだけで全く変わらない。
同じく、横軸は-2。縦軸は-3ιとなるので、まとめて「-2-3ι」となる。
これでA,Bが表せた。
ちなみにこれを「複素数」という。

長方形

察しの方もいるかもしれない。
先ほどの画像で長方形ができていることを。
ということで面積を求めよう。
長方形の面積は、「縦×横」で求められる。
長さを考えるときは-やιを完全無視してok.
Aは、縦は縦軸の2、横は横軸の3なので、2×3で6となる
Bは、縦は縦軸の3、横は横軸の2なので、3×2で同じく6となる。*2
他にもAからBとすることもできる。

同じようにしたらよい。
横軸は-2から+3の5、縦軸は-3ιから+2ιなので、5
かけて5×5となるので、答えは25となる。
今更だが、記号(cmやcm²)にしないのは、数関係だから。(1から2までが1cmではない。)

三角形

四角形の他にも三角形も作れる。
三角形の面積は「底辺×高さ÷2」だが、この「底辺×高さ」は、長方形なので、長方形の面積を2で割るだけにする*3
AもBも長方形の面積が6なので、2で割って、3となる。
同じくAからBでもできる。

同じく長方形を2で割ればいいので、25÷2で12.5となる。

まとめ

• 虚数は√-1(--)のことで、2乗すると-1になる正の数でも負の数でも0でもない数。
• +2+3ιなどの縦軸と横軸を合わせた数を複素数という
• 複素数などを表せるようにした平面を複素数平面という。

この他にも色々こちらから数学にかかわらず、色々な定義を説明してみます。
筆者は青星かなき(Xアカウント:@Blue_kanaki)ですので、色々な報告はそちらまたは、こちら?から。
それでは。