Σの解説

Σは「シグマ」と読む記号。
今回はこのΣをひたすらわかりやすく追求する。
同じく「シグマ」と読むςがあるが、これも違う意味がある記号。今回はまっったく取り扱わない。

また、基本的にはこのページを使ってます
５分で分かる！総和記号「Σ（シグマ）」の計算方法

目次

基本的に上から見たほうがわかりやすいが、途中から見たい人などはこちらから。

Σの記号

まずは基礎的なことから。
Σは下のように上と下と右に色々書いてある。

n
Σ Xi
i

色付けしたけど色々な記号があってわかりづらい。
一つづつ理解しよう。

n

上に書いてある記号(この色の部分)は、「繰り返しの終わりの数」となり、下の数からこのnまでの間を足すわけ。
下のiの終わりとなる点である。

i

下に書いてある記号は「変数」という。(変数自体の説明はしない)(この色の部分)
スタート地点となる部分であり、このiからnまでという一連の流れができた。
しかし、iからnまでをどうすればいいかという条件が判明していない。
それを操作するのが下のXi

Xi

音楽家のXiではないよ。(FREEDOM DiVE↓の人)
あとクロッシィでもないよ。(docomo)

Xは、ある特定のもの。あまり考えなくてもいいだろう。
問題はi。これは下のiと違うので注意。
ここの定義は、さまざまな場合によって意味が変わる。

iと書かれている場合

ただiと書かれている場合は、下のiから上のnまでを全て足すというもの。
一番簡単な部類。

整数が書かれている場合

2や49とか書かれている場合は、その数字を下のiから上のnまでの間を足す。
多分わからないので、ここで式を挙げて説明。

計算式が書かれている場合

(2+i)×2などと書かれている場合は，iに下のiから上のnまでの数字を全て当てはめてその答えを全て足す。
多分知っている人じゃないと全くわからないと思うから同じようにここで説明。

Σの計算

Σの記号がわかったところで計算してみよう。
まずは簡単な部類から。

5
Σi
i=1

整理するとこう変わる

5
Σi
1

本題。
下の数字から上の数字までの整数をすべて足す。
この場合は、「1+2+3+4+5」になる。ちなみに答えは「15」
つまり、1から5までの数字「1,2,3,4,5」を合計するというわけ。

数字を変更する

Σがわかった上で色々発展的なことをしていく。
もちろん解説は十分に。

上下の数字を変える

Σの上の数字と下の数字を変えてみる。
上の数字を「10」
下の数字を「3」
にするとどうなるのか？

もともとはこのような感じ

10
Σi
i=3

それを同じように変えてこう

10
Σ1
3

この場合、先程と似た考えで「3から10」の整数をすべて足す。
式は，「3+4+5+…+9+10」で答えは「52」となる。

右の数字を変える

上下ができたところで右も変えてみる。
上の数字を「4」
下の数字を「2」
右の数字を「3」にしてみる。
まずは始めの形を説明。

4
Σ3
i=2

iも一応付けたが全く意味がないと思ってもらっていい。
なぜならここの問題では他にiが出てきていないから。
いつも通り整理するとこうなる

4
Σ3
2

ここでポイントとなるのは、右の数字が1ではないという点。
つまり2以上というわけ。(小数などについては下)
どうするか？それはもともとの右の数字が何を表しているかが大きく関係してる。
先程のように右が「i」つまり場合によって変わる数字だと下のiから上のnまでを全て足した。
では同じ数だよどうなるのか？
それは下のiから上のnまでの間の回数だけ足す。
この場合は、2から4まで2,3,4で3ステップいるので、3回足す。
より簡単にするには、「n-i+1」(この場合は、4-2+1)で計算可能。
つまり3を3回足すことで「3+3+3=9」となり、正解は9

問題集でなんとなくわかるはず(わからなかったらごめんなさい。)

右の数を計算式にする。

2ステップ踏む計算に挑戦しよう。

今回はマジで計算が大変なので、上下の数字を少なくする。

3
Σ(i+2)×2
i=1

いつも通り整頓

3
Σ(i+2)×2
1

iが右に残っている。
これは、iに上下の「1,2,3」を当てはめて計算してその答えを全て足す。
どういうことかというと、この場合は

(1+2)×2=3×2=6
(2+2)×2=4×2=8
(3+2)×2=6×2=12

の3つの答え「6+8+12」を計算すると、こたえは、26となる。

Σにおいての分数や小数

分数は、一応右のXiの部分に入る可能性はある。(3分のi×4みたいな)
まぁ練習問題で触れるけど。

小数は、マジでΣでは出てこない。安心だね。
もしかしたら出てくるかもしれないけど、もしも小数の概念が入ってしまったら、2～3を全て足すのに、「2と2.1と2.2と2.3と…」って感じで不可能になるから、出てこないと考えていい。

練習問題

一通り計算した上で、問題を解いてみよう。
次の計算を解いてみよう。
答えは難しいものがあったりするので、式や考え方が分かってればOK!
テストでは、解かないといけないけど。

• 問題形式1

右がi
下がi=1の問題

• 第1問

3
Σi
i=1

• 第2問

5
Σi
i=1

• 問題形式2

右がi
下がi≠1のもの(≠の説明)

• 第1問

4
Σi
i=2

• 第2問

5
Σi
i=2

• 第3問

7
Σi
i=3

• 第4問

13
Σi
i=10

• 問題形式3

右が数字の問題。

• 第1問

4
Σ2
i=1

• 第2問

5
Σ4
i=3

• 第3問

8
Σ5
i=7

• 問題形式4

右が計算式の問題。

• 第1問

6
Σi+3
i=1

• 第2問

4
Σi×2+1
i=2

• 第3問

6
Σ(i-2)×2
i=3

• 問題形式5

例の分数。分数の計算が必須になってくるので、知らない方はここから(小学6年生で習う)?
直接分数をすることはできないので、/を表現する。(2分の1は、1/2とする。)

• 第1問 [#mf5df484]

3
Σ1/2×i/3
i=1

• 第2問

5
Σi×1/3
i=2

難問

色々なもの混ぜ込みすぎな計算問題。
指数(冪乗・累乗)や2つiが出てくるとんでも問題。

• 第1問 [#mf5df484]

3
Σ(4+3×i)²
i=1

• 第1問 [#mf5df484]

6
Σi+2×i²
i=3

まとめ

計算方法

• 右がiのときは、上下の間を全て足す。
• 右が整数のときは、上の値-下の値＋1の数をかける。
• 右が計算式のときは、計算式のiの部分に上下の間を全て当てはめて計算し、その答えを全てたす。

記号

• Σを「シグマ」という
• 上の数字を「n」という
• 下の数字を「i」という
• 右の数字を「Xi」という。

その他の紹介

ここまで解説していきました。
この他にも、こちらから数学に限らず、国語や社会などについてまとめています。
また、見てみてください。そして、情報の誤りがある恐れがあります。
ここがわからない！やここ違うよ！とかあったら、気軽にコメントください。コメントしてくれた次の日くらいには修正が終わっていると思います。
では、また。

コメント欄