条件
- xΨy：xの立方とyの立方の和に1を足した値。(x^3+y^3+1)
- 使用禁止：[.]
解説
最後に1が足されるので、和が665となるような2つの立方数を考える。ただし、平方数のときと違い立方数であるので負の立方数も考慮しなければならない。
地道に計算してもよいが、賢い方法はWolframAlphaに"x^3+y^3=665 over the integers"と聞くことだろう。
以下の内容は高校数学が苦手な方にとっては少し難しいかもしれない。
x^3+y^3=665を満たす整数解(x,y)を求める。
次の条件が成り立つ。
(x+y)(x^2-xy+y^2) = 665 …(A) x^2-xy+y^2 ≧ 0 …(B) (∵平方完成による) (x^2-xy+y^2)-(x+y) ≧ -1 …(C) (∵平方完成による） (x^2-xy+y^2)-(x+y)^2 = -3xy (i.e. 3の倍数) …(D)
665 = 5×7×19であるから、条件(A)より
| ±(x+y) | 1 | 5 | 7 | 19 | 35 | 95 | 133 | 665 |
| ±(x^2-xy+y^2) | 665 | 133 | 95 | 35 | 19 | 7 | 5 | 1 |
条件(B)より
| x+y | 1 | 5 | 7 | 19 | 35 | 95 | 133 | 665 |
| x^2-xy+y^2 | 665 | 133 | 95 | 35 | 19 | 7 | 5 | 1 |
条件(C)より
| x+y | 1 | 5 | 7 | 19 |
| x^2-xy+y^2 | 665 | 133 | 95 | 35 |
条件(D)より
例えば、35-19^2の、3による剰余は
(3+5)-(1+9)^2 = 8-10^2 ≡ 2-(1+0)^2 = 2-1^2 = 1
と計算できることを利用して
| x+y | 5 |
| x^2-xy+y^2 | 133 |
よって再度条件(D)より
| x+y | 5 |
| xy | -36 |
(ここで候補が複数ある場合、判別式によってさらに絞りこむことができる）
よって、解と係数の関係より、x,yは
t^2-5t+36 = 0
の2解であるから、
(t-9)(t+4) = 0 t = 9, -4
したがって
(x, y) = (9, -4), (-4, 9)
よって、9Ψ-4が解答である。
解答例
- 9Ψ-4