株式会社DeNAが運営する携帯電話・PC向けのポータルサイト兼ソーシャル・ネットワーキング・サービス「Mobage（モバゲー）」（旧称「モバゲータウン」）のこと。
由来
2011年オフ、渡邉恒雄*1（当時巨人球団会長）*2が横浜ベイスターズの買収騒動について質問された際、ことあるごとに「モバゲー」と言うことができずに「モガベー」や「モゲバー」と言っていたことが由来。
記事
巨人渡辺会長「モ、モグ、モガベーか？」
https://www.nikkansports.com/baseball/news/p-bb-tp0-20111005-845092.html
横浜の球団売却を巡る問題で、巨人渡辺恒雄球団会長（８５）が４日都内で、横浜の親会社であるＴＢＳホールディングス（ＨＤ）と携帯端末向けゲームサイト「モバゲー」の運営会社ディー・エヌ・エー（ＤｅＮＡ）との球団売却交渉について関与していないことを強調した。「モ、モグ、モガベーか？
報道ではオレが知っているように書かれているが、本当に何も知らんのだよ。携帯電話でゲームが出来るのか？
８５歳の活字人間だからそういう幻みたいなこと分からんのだよ」と、困ったように口を開いた。
巨人渡辺会長「Ｂクラスなら大粛清」
https://www.nikkansports.com/baseball/news/p-bb-tp0-20111012-848617.html
また、横浜の球団売却を巡る問題については、交渉が難航していることを示唆した。「（ＴＢＳＨＤ会長の）井上君*3とはあうんの呼吸でやっている」とした上で、同社と交渉先の１つとみられるゲームサイト「Ｍｏｂａｇｅ（モバゲー）」の運営会社ディー・エヌ・エー（ＤｅＮＡ）に関し「モゲバーが出てきてもなあ。そう簡単に行くのかねえ。何か他にないかねえ」とこぼした。かねて持論である大企業の名を挙げて、「松下*4とかソニーとか一流企業が持ってくれれば。赤字を出しても２０～３０億円はへでもない」と、長期的に保有できる企業の買収を切望していた。
その後
買収騒動時は「横浜モバゲーベイスターズ*5にする」という噂からゲイスターズという蔑称がつきかねない事態だったため、この渡邉の行動は「蔑称がつくのを未然に防ぐための言い間違えだったのではないか」というネタ声もあった*6。
しかし買収後は横浜DeNAベイスターズという球団名になり、上記の懸念は杞憂に終わった、と思われたが…
再燃
2018年オフ、ベイスターズでソッチ系の問題が連続で噴出し、ネタではなくリアルな意味で「ゲイスターズ」という蔑称やその派生形がネット上で広く使われ、当時の懸念が違う形で現実化してしまった。