数値表記について

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はじめに

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指数表記について

オプション → 一般 → 表記の項目を「科学的（Scientific）」に変更すると、大きい数字が「e」で区切った数字2つのペアで表されます。
各部分の名前と意味は以下の通りです。

1.54e11
左：仮数部……………1以上10未満の範囲で数字の大きさを表す*1
中：区切り文字………eはExponent(べき乗)の略
右：指数部……………仮数に対して、10の何乗を掛けるかを表す

つまり上記の場合は次のように書き換えられます。

　1.54e11
= 1.54 × 10^11
= 1.54 × 10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10
= 154,000,000,000
= 1540億

この表記により、数字の大小がパッと見でわかりやすくなります。
※「^」は「累乗(べき乗)」を表す記号です。詳細は後述。

「標準」「科学的」「工学的」の違い

• 標準
  • 英語表記の略語(B=Billionなど)で表示される。
  • 対応していないほど大きな数値(1e304以上)になると指数表記になる。
• 科学的
  • 10億以降は常に指数表記になる。
• 工学的
  • 指数部が3の倍数になり、ずれた桁数分は仮数部で調整される(=仮数部が標準表記の数値部分と一致する)。
  • 指数部が巨大(1e100000以上)になり仮数部が省略されると、倍数調整ができなくなるため科学的と同一になる。

上記仕様により、いずれを選択しても結局は「科学的」になってしまうため最初から科学的を選択していた方が合理的であると言える。
より大きな数字については別掲。

指数表記を含む値の計算方法(基本)

以下のことを覚えておけば、感覚でも理解できるでしょう。

• eの右側の数+1 = 桁数 である
  • 例：「4e120」は121桁の数
  • 例：「7e30000」は30001桁の数

• e表記同士の乗算は、eの右側の足し算になる
  • 例：4e120 × 2e35 = 8e155

• e表記の数値に対して累乗すると、eの右側に乗数が乗算される
  • 例：4e120 ^ 3 = 64e360 (= 6.4e361)
  • 例：4e120 ^ 0.5 = 2e60

小数の累乗は感覚的に分かりにくいかもしれませんが、
以下のような法則性があることを最低限覚えておくと便利です。

• 「1より大きな数(1.5など)での累乗」：元の値より大きくなる。乗算(倍増)より強くなることが多い
• 「1より小さな数(0.5など)での累乗」：元の値より小さくなる。ペナルティとして使われることが多い

指数表記を含む値の計算方法(詳細)

このゲームで特に重要となるのは指数表記同士の乗算、累乗です。
ゲーム内における複雑な計算の全てを理解する必要はありませんが、大体何をしているか把握しておくとよいでしょう。

指数あり×指数なしの乗算

仮数部に乗算で計算できます。
例えば 1.54e11 の 3.50 倍は次のようになります。

　1.54e11 × 3.50
= (1.54 × 10^11) × 3.50
= (1.54 × 3.50) × 10^11
= 5.39 × 10^11
= 5.39e11

指数あり×指数ありの乗算

仮数部同士の乗算＆指数部同士の加算で計算できます。
例えば 1.54e2 の 3.50e5 倍は次のようになります。

　1.54e2 × 3.50e5
= (1.54 × 10^2) × (3.50 × 10^5)
= (1.54 × 10×10) × (3.50 × 10×10×10×10×10)
= (1.54 × 3.50) × (10×10 × 10×10×10×10×10)
= 5.39 × 10^7
= 5.39e7

もっと大きい数でも試してみましょう。

　1.54e200 × 3.50e50
= (1.54 × 3.50) × (10 ^ (200+50))
= 5.39e250

指数ありの値に対する累乗

累乗する数を仮数部に累乗、指数部に乗算で計算できます。
例えば 1.54e2 の 3乗 は次のようになります。

　1.54e2 ^ 3
= (1.54 × 10×10) ^ 3
= (1.54 × 10×10) × (1.54 × 10×10) × (1.54 × 10×10)
= (1.54 × 1.54 × 1.54) × (10×10 × 10×10 × 10×10)
= 1.54^3 × 10^6
= 3.65e6

もっと大きい数でも試してみましょう。※小数の累乗の計算方法は後述。

　1.54e200 ^ 3.6
= (1.54 ^ 3.6) × (10 ^ (200×3.6))
= 4.73e720

なお1未満の数で累乗をする場合も、同じ計算が成り立ちます。

　1.54e200 ^ 0.6
= (1.54 ^ 0.6) × (10 ^ (200×0.6))
= 1.29e120

指数が小数の場合の累乗

「底を指数回掛けた値が計算結果」であるならば、指数に小数点未満の値が含まれるのは不可解かもしれません。
(0.5回掛けるってどうやるんだよ！と…)
以下の方法で2^0.5(2の0.5乗)を計算できるので試しにやってみましょう。

指数表記には以下の法則があります。

①a^p × a^q = a^(p+q)
②(a^p)^q = a^(p×q)

計算したいのは2^0.5なので、①の式にa=2,p=0.5,q=0.5を当てはめてみると…

2^0.5 × 2^0.5 = 2^1

同じ数を2回掛けると2になる数＝√2
→つまり、2^0.5 = √2(≒1.414)です。

2^0.5以外の場合も同様に、①と②を駆使してうまく√に当てはめられる分数に置き換えると計算できます…が、手計算は非常に時間がかかるので、関数電卓を使うかゲーム内の計算結果を見た方が早いでしょう。

計算記号の説明

「+」「-」「x」「/」(四則演算)

四則演算は、加算(足し算)、減算(引き算)、乗算(掛け算)、除算(割り算)の4つ。加減乗除とも。

• 「加算」等は数学、「足し算」等は算数の呼び方。負数を扱うかなどの違いはあるが、基本的には同じ。
• 効果を乗算する能力についている「マルチ」は、英語「Multiply」からきている。

「^」(累乗、べき乗)

累乗(べき乗)*4を表す記号です。
Web上では数字の右肩に数字を載せるのが難しいので、上付き文字の代わりとして「^」が用いられます。

10^11 = 1011

このwikiでは以下のように入力すれば乗せることが可能。

＆sup(){ここに右肩に乗せたい文字を入れる};
※大文字の＆を小文字の&に変えてください。()の内部には何も書かない

• ※sup表記は読みづらく使用箇所をコピペすると間違えてしまうので、ゲーム内表記が右肩になっている箇所を除き使用しないことを推奨。
• ただし、右肩ではなく^表記にするとそれはそれで注意が必要となる。
  例として「xの2n乗に1を足した数」を数式で表す際にsup表記では「x2n+1」と問題ない。
  ただし、^表記を用いた場合「x^2n+1」では^の右側がどこまで適応範囲なのかわかりにくい
  • 具体的にはxの右肩に「2」が乗っていてnが掛けられてから1を足しているのか　⇒　x2n+1
    xの右肩に「2n」が乗っていて1を足しているのか　⇒　x2n+1
    xの右肩に「2n+1」がまるまる乗っているのか判別しにくい。　⇒　x2n+1
    • このような誤解を避けるために、指数部分と以降の足し引きする部分は空白を開けて記述しよう。
      「x^2n+1」→「x^2n +1」

上記式「10^11」は、「10を11回掛ける」という意味で、以下と同じ結果になります。
「10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10」

• base(底(てい)、基数)：上記式の左側「10」の部分。
• exponent(指数)：上記式の右側「11」の部分。
• power(冪)：「10^11」の計算結果「100,000,000,000」(1000億)。

ゲーム内で「基礎」「経験値」「パワー」と表記されている箇所は大体これらのことを指しています。
(ただし、「経験値」「パワー」は文字通り経験値/力を意味している場合もあるし、英語版の時点で「power」が計算結果ではなく指数を指していることが多い)

「10^11」と「1e11」は同じ結果になります(どちらも10を11回掛けた値)。

ゲーム内でbaseは1より大きい値として登場するのがほとんどであるが、
0 < base < 1 を満たしているときは指数が大きければ大きいほど0に近づく。
攻撃の公式(特に遺物13購入後でスコアがe5.00e10未満の時)、実績#200の達成方法に関係している。

また、指数部分には非負整数だけが入るわけではない。

• 負の整数：「10^(-3)」は「10を3回掛けた数の逆数」と言う意味で、「1/(10^3)」と同じになります。
  指数法則より「10a×10b = 10a+b」であるので、10^3×10^(-3) = 10^(3-3) = 10^0 = 1
• N分の1：「10^(1/3)」は「3乗すると10になる正の実数*5」と言う意味で、約2.15になります。
  「累乗根」「N乗根」とも言われる、詳しくは以下の「累乗根」の項目を参照
• 上記以外の実数：分数で表記可能なら整数部分と小数部分に分けて計算。
  有理数ではないなら諦めて計算機で計算。

「+x」「+/」「+^」

ゲームを進めていると、たまに「+x(数値)」「+/(数値)」「+^(数値)」という表記が出てくる。
これは、「同種の効果を複数所持している場合はそれらを加算した上で、他の効果に対して1回だけ乗算/除算/累乗する」という意味になる。

計算例

• 「x10」を2つ所持している場合は10同士で乗算するため「x100」の効果になる。
• 「+x10」を2つ所持している場合は10同士で加算するため「x20」の効果になる。
• 「+/10」を2つ所持している場合は10同士で加算するため「/20」の効果になる。
• 「+^0.02」を2つ所持している場合は0.02同士で加算するため「^1.04」の効果になる(未強化時の^1.00に0.04が加算される)。

「^^」「^^^」

ゲームを進行していくと「^^」という演算子が登場し、以下のような数式で表される演算をする。
また「^^^」という演算子が一度だけ登場する。煽っている顔文字のことではない

下記計算例の通り、「^^」「^^^」を適用すると元の数値より小さくなる。
そのため、必要コストを下げる能力として使われることが多い。

数式：

x^^a = 10(log10x)a = 10^((log10x)^a)

x^^^a = 1010(log10(log10x))a = 10^{10^{(log10(log10x))^a}} ※要検証

計算例：

　1e50000^^0.39
= 10^((log101e50000)^0.39)
= 10^(50000^0.39)
≒ 10^68.014
≒ 1.38e68

　1e100^^^0.85
= 10^{10^{(log10(log101e100))^0.85}}
= 10^(10^(2^0.85))
≒ 10^(10^1.8025)
≒ 10^63.460
≒ 2.88e63

「^^」は一般的には「テトレーション」の表記の1つとして使われるが、このゲームではそれとは異なる演算をしている。
どれだけ数値が異なるかというと、

• 通常の演算(テトレーション)

  　3^^4
  = 3333 （= 3^(3^(3^3))）
  = 3327 （= 3^(3^27)）
  = 37625597484987
  ≒ 1.26e3638334640024
  （> e3.63e12）

• このゲーム内での演算

  　3^^4
  = 10^((log103)^4)
  ≒ 10^(0.4771^4)
  ≒ 10^0.0518
  ≒ 1.12671

「平方根」「√」「sqrt」

エタニティ/アニマルの[4;4]ウシの説明文に「EP獲得量をエタニティ量の平方根+1で乗算」とある。
このゲームで「平方根」という表記を使用しているのは(これを記載した時点では)ウシだけなので、ウシの計算方法を使って説明する。

「Xの平方根」とは、「2乗する(同じ数を2回かける)とXになる数」のことである。*6
つまり、ウシの「エタニティ量(Σ)の平方根」は以下の値になる。

「Σ」 ＝ 「Σの平方根」 ×「Σの平方根」

ウシを購入できるのは100Σ前後なので「100」を上記の式に当てはめると、

100 = 100の平方根 × 100の平方根

同じ数をかけて「100」になるのは「10」*7。
つまり100Σの時のウシの効果は、「EP獲得量を10+1で乗算」→「EP獲得量が11倍になる」ということになる。

まあこの時点だとどのリソースからEP獲得倍率を得ているかはもう把握できないと思うので、
「ウシを買うとEPがめちゃくちゃたくさんもらえるんだな～」くらいに考えればゲーム進行には差し支えない。

アニマル解放の時点ではかなり先の話になるが、√(レベル)という表記が登場し、こちらは単に「レベルの平方数」と書くより簡潔で語解も生まない*8。
また、同時期に「sqrt(レベル)*9」という表記も出てくるが、これは√(レベル)と同じ意味。

Nの正の平方根 = √N = sqrt(N) = N1/2 = N^0.5a

である。

※英語版のウシの説明は、「EP is multiplied by 1 + Eternities^0.5」になっている。
上記の通り「正の平方根」と「^0.5」は同じ値になるので、日本語版と英語版でウシの性能が異なるというわけではない。日本語も^0.5表記でよかったのでは…

ちなみになぜ効果量計算に平方根を使うのかという話であるが、
平方根を使うと参照元の値がインフレした時に効果量の伸びをゆるやかにする、ソフトキャップ的な効果があるためと考えられる。
(はじめのうちはギューンと伸びるがだんだん失速する。興味があれば「平方根 グラフ」などでググってみよう)
仮にΣの値をそのまま倍率に使っていたとしたらEPがインフレしすぎてウシビッグバンが発生していたことだろう。

「累乗根」

エタニティチャレンジ5の制約に「x乗根」とある。
これは「累乗根」または「冪根」といい、「累乗するとxになる数」を意味する。
※EC5の表記が修正されて、小数の累乗表記になった(計算結果は変化なし)ため現状累乗根が使われている箇所はない。

nの10乗根の場合、nに対して1/10を累乗すると計算結果が得られる。
1/10=0.1なので、EC5-1の制約「10乗根」がかけられたアセンションパワー＝「通常時のアセンションパワー^0.1」になる。

「平方根」は「2乗根」の別名*10である。
n^(1/2)、つまりn^0.5を計算すると√nと同じ結果になるのはこのため。

「log」(対数)

累乗・冪乗とは対を成す計算方法である。
対数が登場するのは攻撃ダメージの公式や、アルカナアップグレードなど。
明確な表記がされてない内部計算も含めれば上記の「^^」「^^^」、ユニティボーナス、星座経験値要因(EP)も該当する。

基数a、指数bを用いて a^b = x と表されるとき
この式をaについて解くと　a = x^(1/b) （(b分の1)乗 = b乗根 = b√*11）と表せる。
それでは、この式をbについて解くと...

logax = b

として表すことができる。
このwikiでは以下のように入力すれば右下に小さく書くことが可能。

＆sub(){ここに右下に置きたい文字を入れる};
※大文字の＆を小文字の&に変えてください。()の内部には何も書かない

※ゲーム画面では下付き文字を使わず「loga(x)」と表記しているが、これは「^」と同様にWeb上では一般的に用いられる表記である。

• subを使わずに元の大きさのまま記述する際は底aと真数xの区別の為に必ず真数xを括弧で囲うこと！

この際用いられる「log」が対数関数(対数を計算しますよという記号)であり、
「底(てい)をaとするxの対数がbである」と言う。*12
因みにここでのxは真数と呼ばれるので覚えておこう。

底aが10のとき「log10」を常用対数(^^の内部計算にも用いられている)。
ゲーム内には登場しないが、底aがe(指数表記におけるeとは別で「ネイピア数」という。e=2.718281828...*13)のとき「ln」または底の表記なしでそのまま「log」を自然対数と言う。*14
※計算機やゲームによっては底の表記がない「log」を常用対数として用いられる場合があるので注意！

ただし底aや真数xについて制限がある。

0<a<1, 1<a,　0<x　　　だ。真数条件でもあるのでテストの時は忘れずに書いておこう！

aが0か1なら真数xもまた0か1にしかなり得ないし、負の数なら指数bが整数でない場合真数xを定義できない。
逆に真数xが負の数のときは指数bを定義できないし、0なら指数bは負の無限大に発散する。
幸いゲームが壊れない限りそんな状況には陥らないので安心しよう
大学数学の範囲なら真数xが0未満の値でも定義可能

0<xにおける √x, log10x の大小関係を比較すると、
√xの方が大きくなる。底aが1より大きいときlogaxは√xよりも増加が緩やかな関数である。

覚えておきたい対数の基本

①loga1 = 0　　②logaa = 1
底aにかかわらず真数xが1なら指数bは必ず0になるし、底aと真数xが同じなら1となる。

③loga(pq) = q×loga(p)
真数が指数表記の場合、指数は対数の外に出して掛け算にできる。

④loga(c×d) = logac + logad　　⑤loga(c/d) = logac - logad　　
真数が合成数c×dならばc×dの対数はcの対数とdの対数の和に置き換えられるし、
真数が既約分数c/dならばc/dの対数はcの対数とdの対数の差に置き換えられる。*15

他にも底の交換法則などもあるが、ゲーム内では用いられる機会はおそらくないので省略

例えば2の6乗を求めたい時、2を6回かけることで求めたい値64を導出できる。
それでは逆に考えると...？64になるには2を何回かければ良いのか？

基数と指数が与えられて計算結果(真数)を求める演算が冪乗であるならば、
基数と真数が与えられて指数を求める演算が対数であると言えよう。

2の6乗が64であるから、底を2とする64の対数は6であるとすぐにわかるが、
もし底が2ではなく3だったら？
真数が64ではなく25だったら？
冪乗よりも複雑な値を表記するのに便利なのが対数である。

それでは指数表記についての説明で登場する1.54e11の常用対数を求めてみよう！

1.54e11 = 1.54×1011　であるから、
log10(1.54e11)
=log10(1.54×1011)
=log101.54 + log10(1011)
=log101.54 + 11×log1010
≒0.18752 + 11
※log101.54の手計算は非現実的なので、計算機か常用対数表を用いる
=11.18752　　　である。

余談

日本では指数計算(累乗)は中1、0以上の数の平方根は中3、負の数の平方根や対数は高2で習うらしいので、忘れている人はこれを機におさらいしてもいいかもしれない。まだ習ってない人はここで覚えて友達に自慢しよう！

表示仕様

おそらくほぼ全ての数値は四捨五入で表示されている。主な仕様は以下の通り。

数詞一覧

オプションページの「表記」横にあるｉボタンを押すと一覧を確認できる。

K(1e3), M(1e6)は通常の表記に表れないが、自動化などの数値入力時に使用可能。

設定中の表記以外の入力も受け付けてくれる。
(例えば科学的を選択していても「2k」入力で「2,000」の扱いになる)

数値・英単語・日本語表記の対照表

英単語表記の場合、指数部分を
3×{1+(倍数接頭辞)}で表す。*16この場合の1は下記の表にある英単語に、共通で付いている「拡大する(2乗する*17)」を意味する「～on」によるもの。
TrillionはTriが3を意味するので
上記に当てはめると3×{1+(倍数接頭辞(Tri) )}=12となる。
Dc以降は、3×{1+(1の位の数字の倍数接頭辞)+(10の位の数字の倍数接頭辞)}で表す。
DVg なら 3×(1+2+20)=69
Nn なら 3×(1+0+90)=273　となる。

括弧内に1加える「～on」の存在が直感的に英単語表記と数値の変換をわかりにくくさせている一因か。*18
(元々のLong scale(欧州法)ではBillionはMillionの二乗(1e12 その後も6ずつ進む。)であったが、Billionを1e9とするShort scale(米国法)では語源との齟齬が出ている。)

時間表記一覧

おそらく1年＝365日換算。年以降は数値表記と同じ仕様と思われる

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