イベント/静止点/小ネタ

イメージがつかないという人は具体的に思い浮かべてみよう。２つのとても長い棒、もしくは線を平行に並べたとき、遠くを見るとどこか一点で交わるように見えるだろう。そのような平面を射影平面と言う。数学的に言えば任意の２つの直線が平行であっても必ず交わるのが射影平面である。無限遠点というものは平行な２直線が交わる点のことである。

複素数平面において、w=z^2はzの関数である（zの値が一つに定まったとき、z^2の値も唯一つに定まる）ことは、座標平面のように考えるとわかるだろう。このような関数のことを一価関数という。では、y=√z(=z^(1/2))のグラフを考えたとき、y=√zはzの関数と言えるだろうか？zが実数ならば、解を正の範囲で取るように定めれば、例えばz=4のとき、√z=2と定められる。しかしzが虚数では単純に正か負かで定めることが出来ず、解が２つ出てきてしまう。（このような関数を２価関数、一般に解がｎ個ある関数をｎ価関数といい、解が一つでない関数を多価関数という）。そのようなことが起きないようにするのがリーマン面である。

先程話したリーマン面に原点から２つの一次独立したベクトル（わからない人は適当に原点から完全に逆を向いていない2つの矢印を想像してもらえれば良い）を伸ばしたとき、その２つを辺とする平行四辺形を作ることができる。その平行四辺形の辺の長さ、角の大きさを変えても位相構造的には同じ（俗に言うドーナツとコーヒーカップは同じ図形である、というアレである。詳しくは同相映像を参照）だが、リーマン面として見ると構造が変わってしまう（ざっくり言えば矢印の示す場所が本来いるべき座標を表しているので、位置が変わるとそれらは変わってしまう）。そのような平行四辺形すべてを同じものとみなす考え方をタイヒミュラー空間という。

同相とは２つの位相空間が位相空間として等しいことを意味する。わかりやすく言えば、粘土でできたボールをちぎったり穴を開けずに変形させるとき、立方体にすることは可能であり、これが同相と呼ばれる。逆にドーナツを作るには穴を開けなければならないのでルールに反するため同相とは呼べない。詳しく調べない限りはこのような認識で良い。写像は平たく言えば要素を結びつける集合規則である。こらそこ、ひろゆきに写像について聞かせるんじゃない例えば{1,2,3,4,}という４つの要素を持った集合Aと{A,B,C,D}という４つの要素を持った集合Bがあるとする。このとき、各要素を他方の集合に照らし合わせることである。例えば、1とA、2とC、3とD、4とDというように対応させる。全単射とは、それぞれの要素が一つずつもう片方の集合の要素に対応している（単射）、かつAの要素とBの要素の数が等しい（全射）であることである。要は、２つの位相空間が持つ要素が共通であることを、同相写像という。